かけ算の教え方
1.かけ算の意味
◎かけ算の意味は？
小学２年の秋に習う「かけ算」。新しい計算の学習を楽しみにしている人もいますね。「さんいちがさん、さんにがろく、さざんがく…」と「九九」を暗唱するかわいい声が家庭でも聞かれることでしょう。
「かけ算」というと、「九九をいかに早く、まちがいなく言えるか」が焦点となりがちなのですが、実は「かけ算」という演算は、それまで学んだ「たし算、ひき算」とはまったく違う 新しい意味 を持っています。そしてこれが後々、高学年･中学･高校までつながっていくので 「かけ算」は小学校算数のカナメと言えるのです。
そこでまずは かけ算の意味 を考えたいと思います。
かけ算はよく、
「２＋２＋２＋２＋２って書くのはめんどうでしょ。でも２×５を覚えたら一発でしょ。覚えようね」
と教えられることがあります。（このように同じ数をたしていくことを「累加」と言います）
けれども最初にこう教えられると、次のような問題が生まれます。
1⃣かけ算をたし算で教えると、かけ算するといつでも増えるのだと思い込んで、後に習う
３×０.５＝１.５ ←（最初の３より答えは減っている）
などの説明がつかない。
2⃣４×０＝４ といった答が多くなる。
「４に１回もたさないから４のまま」という発想。
3⃣同じかけ算なのに小数や分数をかけるときの説明がつかず、計算のやり方だけが押しつけられる。
4⃣九九だけは早く正確に唱えられるが、文章題ができない。
では、「２×５は、２を５倍すること」 という説明はどうでしょう。
倍は「５倍ズーム」などのように、そのもの自身が拡大するというイメージの強い言葉です。そして、「５倍」の「５」は、目で見ることのできない、操作や関係を表す抽象的な数です。
「倍」は２年生にはとらえにくいのでかけ算の導入に適切とは言えません。
それならば「かけ算」をどのように教えればよいでしょう。
数学で育ちあう会では、水道方式の考え方を取り入れ、「かけ算」を身近な題材で導入しています。
その流れをこれからみていくことにしましょう。
2.「1あたりの数」×「いくつ分」＝「全体の数」
◎1あたりの数
私たちのまわりには、１つのものに同じ数だけあるもの、例えば、ネコの耳は二つ、のように数が決まっているものがたくさんあります。それを「ネコ１ぴきあたり耳２つ」というふうに表します。これが「１あたりの数」です。もしネコが３びきいたら、耳の数は全部で、「２つ×３＝６つ」です。
トンボのはねは「１ぴきあたり４枚」です。トンボが７ひきいたら、はねの数は全部で、「４枚×７＝２８枚」です。
こんなふうに、子どもたちの身のまわりのものから、「１あたりの数」をたくさん探してみましょう。
生き物以外の人工物の場合も、
「自動車１台あたりタイヤ４本、５台作ればタイヤは全部で何本？」
のように言えて、「４本×５」から全体の数が出てきます。
また、右の問いのような
数学で育ちあう会かけざん教材 F-2より
「おにぎりを１人に２こずつ、４人にくばる」
という場合も「１あたりの数」が決まるから、「２こ×４」で全体の数が求められます。
このように、
「１あたりの数」がいくつあるかで全体の数がわかる計算を 「かけ算」
といいます。
「１あたりの数×いくつ分＝全体の数」という考え方です。たし算やひき算とはまったく違う、新しい演算である「かけ算」の概念が、具体的な場面をたくさん考え、実際に操作をして体験を重ねることにより、子どもの頭の中で整理され、理解されていくのではないでしょうか。
数学で育ちあう会が各地で開催している「お母さんの算数教室」でも、かけ算を次の絵のように、ピカチュウの耳の数を尋ねた問題で意味を考えていきます。
「お母さんの算数教室～かけ算」資料（田中恭子さん作）より
どのピカチュウにも耳が２本ずつ有ります。これを「１あたりの数」ということにします。
.そして、これらをタイルで表します。タイル□は耳、お皿はピカチュウを表しています。２本／ひきで５ひきいるとき、耳の数は全部で何本ですか。10本ですね。
ここでも「タイル」が視覚的に大切な役目を果たしています。
タテに積まれたタイルの数が「１あたりの数」に、下側のお皿が「いくつ分」になり、かけ算するとタイルがピタッとくっつきます。そのタイルの数が「全体の数」となるのです。
このようにタイルでかけ算を表せることを知っていれば、九九を忘れたときにもタイルを書いて答を出せるわけです。
かけ算は「×（かける）」の記号を使って式を作ります。子どもたちは、たくさんの具体的な場面を与えられ、そのたびに手を動かして具体物やタイルを使って結果を得ます。そのことを日本語で話し、そして、
さんすうのことばに置き換える→「式」を作る ことができるようになってほしいのです。
こうしてかけ算の意味をしっかり学習してから、「九九のうた」に入っていきます。九九のうたをおぼえるときも、それぞれの「段」で、代表的な「１あたりの数」をあげながら、タイルや式と関係づけて覚えられるようにしています。
数学で育ちあう会 かけざん教材F-21より
このように「かけ算」が「１あたりの数×いくつ分＝全体の数」であることを学ぶと、もし九九を忘れたとしても、かけ算のタイル図を描けばその九九の答を出すことができます。
子どもたちには、１あたりの数が「０」という場合も考えさせます。「かえるのおへそ」は１ぴきあたり０個、「生まれたばかりの赤ちゃんの歯」は１人あたり０本、などなど。
学校の教科書ではかけ算九九は小学２年生で、０を含むかけ算は小学３年生で扱っています。数学で育ちあう会では、かけ算の意味を十分理解してもらうためにも、２年生でまとめて学習させています。
数学で育ちあう会 かけざん教材F-41より
かけ算のタイル図では、「１あたりの数」が増えればタイルが上へ上へといくらでも伸びていき、「いくつ分」が増えれば横に横にと果てしなく広がります。かけ算とは、上にも横にも広がりを持つ演算であることが、子どもたちにもなんとなく感じとれるのではないでしょうか。
このようにかけ算の意味がわかっていると、高学年で出てくる「単位あたり量」（密度、速さ、濃度など）の理解がスムーズになります。
「かけ算」の意味がわかっていなければ 「わりざん」 もわからないし、正比例・反比例をはじめとする関数や、割合などの理解も困難です。九九を覚えればかけ算の勉強はおしまいではなく、かけ算の意味こそ時間をかけて、ていねいに教えなければならないと私たちは考えています。
そして、生活や遊びを通して、一つのものに同じ数だけあるものを自然に取り込んでいけば、かけ算の理解もより深まるのではないでしょうか。
☆教え方のポイント！ もしお家で「１あたりの数」を教えるなら・・・
お菓子を使ってみるのも、子どもたちが喜ぶ方法です。
市販のお菓子で、
例えば、１箱に２個入っているキャラメルとか、１袋４枚入りのビスケットとか、１つ９枚入りのガムだとか・・・。
駄菓子屋さんで探してみても楽しいですね。
「いちばんぼし算数数学教室」さん制作のYouTube『算数動画』
☆水道方式で指導する「いちばんぼし算数数学教室」さんが、いろいろな算数動画を制作しYouTubeにアップしています。
タイルの勉強や練習ができる動画もたくさんあります。 ↓
3.かけ算の筆算〈その1〉
◎筆算を早い段階で取り入れます
現在の小学校算数では、２年生の２学期にかけ算と九九を学習し、３学期には「４×１２」のようなものを例えば「４×９」と「４×３」に分解してから合わせるという方法で扱っています。けれど、かけ算のタテ書きの計算＝「筆算」 が出てくるのは３年生になってからで、２ケタ×１ケタでようやく筆算を取り入れています。
私たちは「１ケタ×１ケタ」の段階から筆算を取り入れるべきだと考えます。
かけ算の計算で大事なのは、位ごとにかけて位ごとに合わせること です。筆算ならケタ数が増えても位をそろえて計算できる のです。
私たちは、九九のうたを覚えた後にかけ算の筆算を導入しています。
数学で育ちあう会 Ｆ教材 Ｆ-52
◎2ケタのかけ算の筆算もタイルで納得！
２ケタのかけ算、例えば「１２×４」などは、タイルで計算のしくみを説明するとよくわかります。
〈もんだい〉
１２こ入りのキャラメルの箱が、４箱あります。
キャラメルは、全部でなんこありますか？
キャラメル１箱あたり１２個入っているので１あたりの数は１２個（タイル１本と２こ）です。これが４箱分になるので、式は
１２×４
になります。
タイル図で表すと上図のようになりますね。
これを筆算の計算と結びつけて考えます。
１の位から順に、かける数「４」の段の九九を使って計算します。
① まず４×２を計算します。
４×２＝８(こ) → タイル図では、緑色の点線で囲んだ①の部分になります。
② 次に４×１を計算します。
４×１＝４(本) → タイル図では、紫色の点線で囲んだ②の部分になります。
あわせると、
４本と８こになって、
答は４８ です。
１２×４＝４８
こたえ ４８こ
かけ算の筆算の大原則は
★位ごとにかけて合わせる
ことです。
次のように、かけ算した結果くり上がる場合も、同じタイルどうしを合わせます。そしてタイル１０こで１本に、タイル１０本で１枚にしてまとめていけばよいわけです。
※タイル１０こ＝１本 に、 タイル１０本＝１枚 になります。
タイルの数の仕組みについては【かずの教え方】の「十進記数法」とタイルをどうぞ。(リンクを貼る)
数学で育ちあう会 Ｆ教材 Ｆ-72より
4.かけ算の筆算〈その2〉
◎「2ケタ×2ケタ」の筆算もタイルで「なるほど！」
かける数が２ケタになっても、タイルで計算のしくみを表すと、どの部分で何を求めているかの説明がつきます。では、「１２×２３」を例にとって見ていきましょう。
〈もんだい〉
１２こ入りのキャラメルの箱が、２３箱あります。
キャラメルは、全部でなんこありますか？
上のタイル図でわかるように、最後に同じ種類のタイルどうしをたし算します。そのためには筆算で位をそろえる必要があります。左に一つずつ位をずらして書くのは同じ種類のタイルどうしでそろえているからなのです。
※実際に子どもたちを指導する場合は、この図の前に「３×１０」や「１０×１０」などをタイルで表すとどうなるかを学習しています。
かけ算の筆算の大原則は
★位ごとにかけて合わせる
でした。
ここに十分気をつけながら「×３ケタ」まで進んでかけ算の課程が修了します。
ちなみに学校の教科書では、３年生で「×２ケタ」までを習って、４年生で「億」を習ってから「×３ケタ」を学習しています。
◎タイルは後々まで重宝する「数学の道具」なのです
ー.これまで見てきたようにタイルでかけ算のしくみを学ぶと、かけ算が「１あたりの数×いくつ分＝全体の数」ということがイメージしやすくなります。この考え方はあとで習う「わり算」や「単位あたり量」などにもたいへん重要です。また長方形・正方形の面積はかけ算のタイル図が発展的に生かされることになります。
そして、タイルの良さは小学校の算数にとどまりません。中学数学にも高校数学にもつながるとっても便利なものなのです。
ひとつ例をあげると、中学で出てくる「因数分解」と「展開」です。タイルだとこんなふうに表せます。
